Question

（2013•哈尔滨一模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

x=-2-t y=2- 3 t

（t为参数），直线l与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A，B两点
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为(2

2

，

3π

4

)，求点P到线段AB中点M的距离．

Answer 1

分析：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得t²+4t-10=0，求出t₁+t₂和t₁•t₂，根据|AB|=|t₁-t₂|，运算求得结果．
（2）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为  

t1+t2

2

=-2，由t的几何意义可得点P到M的距离，运算求得结果．

解答：解：（1）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 t²+4t-10=0，
设A，B对应的参数分别为 t₁ 和t₂，则  t₁+t₂=-4，t₁•t₂ =-10．     …（3分）
所以|AB|=|t₁-t₂|=2

14

． …（5分） 
（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（-2，2），
根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 

t1+t2

2

=-2．   …（8分）
所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=2．…（10分）

点评：本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．