Question

（2012•蓝山县模拟）2012年中秋、国庆长假期间，由于国家实行6座及以下小型车辆高速公路免费政策，导致在长假期间高速公路出现拥堵现象．长假过后，据有关数据显示，某高速收费路口从上午6点到中午12点，车辆通过该收费站的用时y（分钟）与车辆到达该收费站的时刻t之间的函数关系式可近似地用以下函数给出：
y=f(t)=

- 1 8 t3- 3 4 t2+36t- 629 4 ，6≤t＜9 t 6 + 288 3t ，9≤t≤10 -3t2+66t-345，10＜t≤12

求从上午6点到中午12点，通过该收费站用时最多的时刻．

Answer 1

分析：由已知中的分段函数，利用导数法，可以判断出第一段上函数的单调性，进而求出第一段上的最值；利用基本不等式，可以求出第二段函数的最值，根据二次函数的图象和性质，可以判断第三段函数的最值，综合可得答案．

解答：解：当t∈[6，9）时，f(t)=-

1

8

t3-

3

4

t2+36t-

629

4

得：f′(t)=-

3

8

t2-

3

2

t+36=-

3

8

(t+12)(t-8)
故：f（t）在（6，8）单调递增，在（8，9）单调递减，
因此，f（t）_max=f(8)=

75

4

；…．（4分）
当t∈[9，10]时，f(t)=

t

6

+

288

3t

≥2

t 6 × 288 3t

=8．
当且仅当

t

6

=

288

3t

，
即：t=24∉[9，10]．因此f（t）在[9，10]单调递减，
所以，f(t)max=f(9)=

73

6

．…（8分）
当t∈（10，12]时，f（t）=-3t²+66t-345，对称轴为t=11，
故f（t）_max=f（11）=18．    …（12分）
综上所述：f(t)max=

75 4 ，6≤t＜9 73 6 ，9≤t≤10 18，10＜t≤12

．
故：通过收费站用时最多的时刻为上午8点．…..（13分）

点评：本题考查的知识点是函数的最值，分段函数的最值，导数求函数的最值，基本不等式求最值，难度较大．