Question

（12分）已知数列的前项和为,且对一切正整数都成立.

(1)求,的值;

(2)设,数列的前项和为,当为何值时,最大?并求出的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1） 

(2),n=7时,T_n取得最大值,且T_n的最大值为 T₇= 

【解析】(1)令n=1则

再令n=2可得然后两方程联立可解得,的值.

(2)在（1）的基础上，可知

再根据 , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1

所以a_n= ,

据此可知{a_n}是等比数列，因而,

所以,所以可知数列{b_n}是以为公差,且单调递减的等差数列.然后根据b_n>0可解出n的范围，从而确定T_n的最大值.

取n=1,得    ①

取n=2,得    ②

又②-①,得       ③

(1)若a₂=0, 由①知a₁=0, 

(2)若a_2,   ④

由①④得: 

(2)当a₁>0时,由(I)知, 

当 , (2+)a_n-1=S₂+S_n-1

所以,a_n= 

所以 

令 

所以,数列{b_n}是以为公差,且单调递减的等差数列.

则 b₁>b₂>b₃>>b₇= 

当n≥8时,b_n≤b₈= 

所以,n=7时,T_n取得最大值,且T_n的最大值为

T₇=