题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ （sinx-cosx）．
（1）求它的定义域和值域；
（2）判定它的奇偶性；
（3）判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期．

解：（1）由sinx-cosx＞0可得， $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ）＞0，
∴2kπ+0＜x- $\text{[math]}$ ＜2kπ+π，k∈z，即2kπ+ $\text{[math]}$ ＜x＜2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
∴定义域为（2kπ+ $\text{[math]}$ ，2kπ+ $\text{[math]}$ ），（k∈Z）．
∵ $\text{[math]}$ sin （x- $\text{[math]}$ ）∈（0， $\text{[math]}$ ]，∴值域为（0， $\text{[math]}$ ]．
（2）∵定义域不关于原点不对称，∴f（x）是非奇非偶函数．
（3）∵f（x+2π）=log $\text{[math]}$ [sin（x+2π）-cos（x+2π）]=log $\text{[math]}$ （sinx-cosx）=f（x），
∴已知函数是周期函数，且最小正周期T=2π．
分析：（1）由sinx-cosx＞0可得， $\text{[math]}$ sin（x- $\text{[math]}$ ）＞0，故有 2kπ+0＜x- $\text{[math]}$ ＜2kπ+π，k∈z，由此求得x的范围，即可求得函数的定义域．再根据条件及正弦函数的有界性求得值域．
（2）由于函数的定义域不关于原点不对称，可得f（x）是非奇非偶函数．
（3）根据f（x+2π）=f（x），可得函数的周期性．
点评：本题主要考查复合三角函数的单调性、奇偶性和周期性，以及定义域和值域，属于中档题．