Question

已知f（x）=2xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）证明对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(

x

ex

-

2

e

)成立．

Answer 1

分析：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．再验证是否满足函数取得极小值的条件即可．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，?a≥(2lnx+x+

3

x

)min．令h（x）=2lnx+x+

3

x

，利用导数研究其单调性极值最值即可．
（III）令u(x)=2(

x

ex

-

2

e

)，利用导数研究其最大值，再利用（I）的结论即可．

解答：解：（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2lnx+2，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f′（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．
故当x=

1

e

时，函数f（x）取得极小值即最小值为-

2

e

．
（II）存在x∈（0，+∞），使f（x）≤g（x）成立，即2xlnx≤-x²+ax-3存在x∈（0，+∞）能成立．
?a≥2lnx+x+

3

x

存在x∈（0，+∞）能成立，?a≥(2lnx+x+

3

x

)min．
令h(x)=2lnx+x+

3

x

，则h′(x)=

2

x

+1-

3

x2

=

(x+3)(x-1)

x2

．
当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增．
∴当x=1时，h（x）取得最小值4．因此a≥4．
（III）令u(x)=2(

x

ex

-

2

e

)，则u′（x）=

2(1-x)

ex

．
令u′（x）=0，解得x=1；当x∈（0，1）时，u′（x）＞0，函数u（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，u′（x）＜0，函数u（x）单调递减．
∴当x=1时，函数u（x）取得最大值-

2

e

．
故对一切x∈（0，+∞），都有f(x)＞2(

x

ex

-

2

e

)成立．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、存在性问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．