Question

【题目】已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】

试题分析：（1）设，由题得，则，，由化简即可得动点的轨迹的方程；（2）设点，，根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程可得直线的方程为，从而得点的坐标为，由恒成立得解得，进而可得结果.

试题解析：(1)设，由题得

又，

∴，

，

由，

得，即，

∴轨迹的方程为.

（2）设点，，

由，得，

∴，

∴直线的方程为

令，可得，

∴点的坐标为，

∴

，（*）

要使方程（*）对恒成立，则必有解得.

即在轴上存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为.