Question

给出下列四个命题：
①若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1；
②已知|

a

| =|

b

| =2，

a

与

b

的夹角为

π

3

，则

b

在

a

上的投影为1；
③若P=a+

1

a

+2(a＞0)，q=(

1

2

)x2-2(x∈R)，则p＞q；
④已知f（x）=asinx-bcosx在x=

π

6

处取得最大值2，则a=1，b=

3

；
其中正确命题的序号是

①②

．（把你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①②③④依次分析命题：当0＜x≤1时，|x-lgx|=x+|lgx|；当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|，故①成立；直接根据向量投影的定义得到②成立；分别计算p和q的范围，可得③不成立；
f（x）=asinx-bcosx，（a，b∈R）在x=

π

6

处取得最大值2，可以利用和角公式对其变形，得到④不成立，综合可得答案．

解答：解：对于①：当0＜x＜1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x=1时，|x-lgx|=x+|lgx|；
当x＞1时，|x-lgx|＜x+|lgx|．
∴若|x-lgx|＜x+|lgx|成立，则x＞1，即①成立；
对于②：∵

b

在

a

上的投影为|

b

|cos＜

a

，

b

＞=2×cos

π

3

=2×

1

2

=1，故②成立；
对于③∵p=a+

1

a

+2≥2

a• 1 a

+2=4，q=(

1

2

)x2-2≤(

1

2

)-2=4，
∴p≥q，即③不成立；
对于④∵f（x）=asinx-bcosx=

a2+b2

sin（x-φ），且tanφ=

b

a

．
又f（x）=asinx-bcosx在x=

π

6

处取得最大值2；
∴

π

6

-φ=2kπ+

π

2

⇒φ=-2kπ-

π

3

⇒tanφ=-

3

，故a，b异号，即④不成立．
即成立的只有①②．
故答案为；  ①②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题时要注意和角公式的应用、向量的性质和绝对值不等式的应用等．是一道易错题．