Question

已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距。
（1）用a和n表示f（n）；
（2）求对所有n都有成立的a的最小值；
（3）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由

Answer 1

解：（1）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，
∴A（）
对求导得y′=-2x
∴抛物线在点A处的切线方程为，
∴
∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，
∴f（n）=aⁿ；
（2）由（1）知f（n）=aⁿ，则成立的充要条件是aⁿ≥2n³+1
即知，aⁿ≥2n³+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥
当a=，n≥3时，aⁿ＞4ⁿ=（1+3）ⁿ≥1+
=1+2n³+＞2n³+1
当n=0，1，2时，
∴a=时，对所有n都有成立
∴a的最小值为；
（3）由（1）知f（k）=a^k，下面证明：
首先证明：当0＜x＜1时，
设函数g（x）=x（x²-x）+1，0＜x＜1，
则g′（x）=x（x-）
当0＜x＜时，g′（x）＜0；
当时，g′（x）＞0
故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）_min=g（）=0
∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，
∴
由0＜a＜1知0＜a^k＜1，因此，
从而=≥
=＞=。