Question

已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F分别在AD，BC上且AE=1，BF=3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF上的射影H在直线DE上．

（1）求证：AD∥平面BFC；
（2）求二面角A-DE-F的平面角的大小．

Answer 1

（1）证明：∵AE∥BF，DE∥FC，
∴AE∥平面BFC，DE∥平面BFC，AE∩DE=E，
∴平面AED∥平面BFC
∴AD∥平面BFC．…（4分）
（2）由（I）可知平面AED∥平面BFC
∴二面角A-DE-F与二面角B-FC-E互补…（6分）
过B作BK⊥EF于K，连结HK，
∵BH⊥平面CDEF，∴BH⊥EF，EF⊥平面BKH，∴EF⊥KH，
∵∠BFE=45°，∠BKF=90°，BF=3，
∴FK=

3 2

2

，
∵EF=2

2

，
∴EK=

2

2

，
又∵∠KEH=45°，
∠HKE=90°，
∴EH=1，
∵BE=

5

，∴BH=2…（8分）
过H作HL⊥CF，
交CF延长线于点L，连结BL，
∵BH⊥平面CDEF，
∴BH⊥CF，
∴CF⊥平面BHL，∴CF⊥BL，
∴∠BLH为二面角B-CF-E的平面角，…（10分）
∵HL=2=BH，∴∠BLH=45°，
∴二面角A-DE-F的大小为135°．…（12分）