Question

已知函数f（x）=a（x-）-lnx，
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数，若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）≥g（x₀）成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）当a=1时，函数，
f（1）=1-1-ln1=0，
f′（x）=，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=1+1-1=1，
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=x-1，即y=x-1；
（Ⅱ）f′（x）=，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，
即ax²-x+a≥0，得恒成立，
由于，
∴，∴，
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数a的取值范围是；
（Ⅲ）∵在[1，e]上是减函数，
∴x=e时，g（x）_min=1；x=1时，g（x）_max=e，即 g（x）∈[1，e]，
f′（x）=，令h（x）=ax²-x+a，
当时，由（Ⅱ）知f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1，
又g（x）在[1，e]上是减函数，
故只需f（x）_max≥g（x）_min，x∈[1，e]，
而，g（x）_min=1，
即，解得，
所以实数a的取值范围是。