Question

设无穷等差数列{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）若首项a₁=

3

2

，公差d=1．求满足Sk2=(Sk)2的正整数k；
（Ⅱ）求所有的无穷等差数列{a_n}，使得对于一切正整数k都有Sk2=(Sk)2成立．

Answer 1

（Ⅰ）∵首项a₁=

3

2

，公差d=1．
∴Sn=na1+

n(n-1)

2

d=

3

2

n+

n(n-1)

2

=

1

2

n2+n，
由Sk2=(Sk)2得

1

2

(k2)2+k2=(

1

2

k2+k )2，
即

1

4

k4- k3=0，
∵k是正整数，∴k=4．…（5分）
（Ⅱ）设数列

a

2

的公差为d，
则在Sk2=(Sk)2中分别取k=1，和k=2得

S1=(S1)2 S4=(S2)2

，
即

a1=a12，① 4a1+6d=(2a1+d)2，②

由①得a₁=0或a₁=1，
当a₁=0时，代入②得d=0或d=6．若a₁=0，d=0则本题成立；
若a₁=0，d=6，则a_n=6（n-1），
由S₃=18，（S₃）²=324，S₉=216知S₉≠（S₃）²，故所得数列不符合题意；
当a₁=1时，代入②得4+6d=（2+d）²，
解得d=0或d=2．
若a=1，d=0则a_n=1，S_n=n从而Sk2=(Sk)2成立；
若a₁=1，d=2，则a_n=2n-1，S_n=n²，
从而Sk2=(Sk)2成立．
综上所述，只有3个满足条件的无穷等差数列：
①a_n=0； ②a_n=1；③a_n=2n-1．