Question

已知函数f（x）=-x³+ax²+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若a=1，函数f（x）的图象能否总在直线y=b的下方？说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

解（Ⅰ）：当a=1时，f（x）=-x³+ax²+b，
因为f（-1）=b+2＞b，
所以，函数f（x）的图象不能总在直线y=b的下方．
（Ⅱ）由题意，得f'（x）=-3x²+2ax，
令f′（x）=0，解得x=0或x=，
当a＜0时，由f′（x）＞0，解得＜x＜0，
所以f（x）在（，0）上是增函数，与题意不符，舍去；
当a=0时，由f'（x）=-3x²≤0，与题意不符，舍去；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得0＜x＜，
所以f（x）在（0，）上是增函数，
又f（x）在（0，2）上是增函数，
所以，解得a≥3，
综上，a的取值范围为[3，+∞）．
分析：（Ⅰ）当a=1时，求出函数解析式，然后进行赋值，令x=-1，可得f（-1）=b+2＞b，从而说明f（-1）在直线y=b的上方，得到结论；
（Ⅱ）先求出导函数，然后求出导函数的根，讨论a的取值范围分别求出函数的单调增区间，使（0，2）是增区间的子集即可．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及函数与方程的综合运用，属于基础题．