Question

已知函数f（x）=sinx（x≥0），g（x）=ax（x≥0）．
（I）若f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（II）当a取（I）中最小值时，求证：g(x)-f(x)≤

1

6

x3．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），所以h'（x）=cosx-a，再分别讨论a与1的大小，得到函数的单调性即可求出函数的最值，进而解决恒成立问题求出a的范围．
（Ⅱ）由题意可得：g（x）=x（x≥0），所以原不等式等价于x-sinx-

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6

x3≤0（x≥0），设H(x)=x-sinx-

1

6

x3 (x≥0)，再反复利用导数判断函数的单调性，进而得到函数H（x）的单调性，求出函数H（x）的最值即可证明恒成立问题即不等式成立．

解答：解：（Ⅰ） 由题意可得：令h（x）=f（x）-g（x）=sinx-ax（x≥0），
所以h'（x）=cosx-a．
若a≥1，h'（x）=cosx-a≤0，
所以h（x）=sinx-ax在区间[0，+∞）上单调递减，即h（x）≤h（0）=0，
所以sinx≤ax（x≥0）成立．       （3分）
若a＜1，存在x0∈(0，

π

2

)，使得cosx₀=a，
所以x∈（0，x₀），h'（x）=cosx-a＞0，
所以h（x）=sinx-ax在区间（0，x₀）上单调递增，
所以存在x使得h（x）＞h（0）=0，即此时f（x）≤g（x）不恒成立，
所以a＜1不符合题意舍去．
综上，a≥1．         （5分）
（Ⅱ）由题意可得：a=1，所以g（x）=x（x≥0），
所以f（x）-g（x）=sinx-x（x≥0），
所以原不等式等价于x-sinx-

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6

x3≤0（x≥0），
设H(x)=x-sinx-

1

6

x3 (x≥0)，所以H′(x)=1-cosx-

1

2

x2．
令G(x)=1-cosx-

1

2

x2，所以G'（x）=sinx-x，
所以G'（x）=sinx-x≤0（x≥0），
所以G(x)=1-cosx-

1

2

x2在（0，+∞）上单调递减，（8分）
因此有：G(x)=1-cosx-

1

2

x2≤G(0)=0，
即H′(x)=1-cosx-

1

2

x2≤0，
所以H(x)=x-sinx-

1

6

x3 (x≥0)单调递减，（10分）
所以H(x)=x-sinx-

1

6

x3≤H(0)=0，
所以x-sinx-

1

6

x3≤0（x≥0）恒成立，即x-sinx≤

1

6

x3（x≥0）．         （12分）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及由函数恒成立的问题求参数的取值范围，求解本题关键是记忆好求导的公式以及单调区间与导数的关系，对于函数的恒成立的问题求参数，要注意正确转化，恰当的转化可以大大降低解题难度，此题体现了转化与化归的重要数学思想．