Question

已知函数f(x)=

ax+b

x2+1

在点（-1，f（-1））的切线方程为x+y+3=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设g（x）=lnx，求证：g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立；
（Ⅲ）已知0＜a＜b，求证：

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．

Answer 1

（Ⅰ）将x=-1代入切线方程得y=-2
∴f(-1)=

b-a

1+1

=-2，
化简得b-a=-4
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

f′(-1)=

2a+2(b-a)

4

=

2b

4

=

b

2

=-1
解得：a=2，b=-2．
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．
（Ⅱ）由已知得lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立
化简（x²+1）lnx≥2x-2
即x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立
设h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，
h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2
∵x≥1
∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，
即h'（x）≥0
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在x∈[1，+∞）上恒成立                      
（Ⅲ）∵0＜a＜b
∴

b

a

＞1，
由（Ⅱ）知有ln

b

a

＞

2 b a -2

( b a )2+1

整理得

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

∴当0＜a＜b时，

lnb-lna

b-a

＞

2a

a2+b2

．