Question

已知函数f（x）=

1-a+lnx

x

，a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a=1时，若不等式f（x）-k＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）对函数f（x）求导，令f′（x）=0得x=e^a，可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a；
（Ⅱ）由于不等式f（x）-k＜0等价于

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立，可设g(x)=

lnx

x

，(x＞0)求出g（x）的最大值

1

e

，即可得到k的范围．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．  
f′(x)=

a-lnx

x2

，令f′（x）=0得x=e^a     
当x∈（0，e^a），f′（x）＞0，f（x）为增函数；   
当x∈（e^a，+∞），f′（x）＜0，f（x）为为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e^a）=e^-a；
（Ⅱ）由于a=1，所以不等式f（x）-k＜0在区间（0，+∞）上恒成立，即

lnx

x

＜k在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)=

lnx

x

，(x＞0)
由（Ⅰ）知，g（x）在x=e处取得最大值

1

e

，
∴k＞

1

e

．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数极值及函数恒成立问题，具有一定综合性，恒成立问题往往转化为函数最值解决．