Question

已知：函数f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2]时，f（x）＞0；当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0．
（1）求f（x）在[0，1]内的值域；
（2）若

ax2+bx+c

x2+x+1

≤0的解集为R，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意得到f（-3）=f（2）=0，代入函数解析式求出a与b的值，确定出函数解析式，配方后利用二次函数的性质即可得出f（x）在[0，1]内的值域；
（2）由已知不等式分母中根的判别式小于0，得到分母恒为正，可得出分子小于等于0的解集为R，将第一问求出a与b代入分子，令根的判别式小于等于0，列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．

解答：解：（1）由题意得：f（-3）=f（2）=0，
即

9a-3(b-8)-a-ab=0 4a+2(b-8)-a-ab=0

，
解得：a=-3，b=5，
∴f（x）=-3x²-3x+18=-3（x+

1

2

）²+

75

4

，
由a=-3＜0，得到抛物线开口向下，当x＞-

1

2

时，函数为减函数，
∵x∈[0，1]，∴f（x）∈[12，18]；
（2）∵x²+x+1中，△=-3＜0，
∴x²+x+1恒大于0，
由题意得：-3x²+5x+c≤0解集为R，
∴△=25+12c≤0，解得：c≤-

25

12

．

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．