Question

（本小题满分13分）已知圆C：过点A（3，1），且过点P（4，4）的直线PF与圆C相切并和x轴的负半轴相交于点F．
（1）求切线PF的方程；
（2）若抛物线E的焦点为F,顶点在原点，求抛物线E的方程。
（3）若Q为抛物线E上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）点A代入圆C方程，得．∵m＜3，∴m＝1．圆C：．设直线PF的斜率为k，则PF：，
即．∵直线PF与圆C相切，∴．解得． 当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线PF与x轴的交点横坐标为－4，∴符合题意，∴直线PF的方程为y=x+2…………………6分
(2)设抛物线标准方程为y²=-2px, ∵F（－4，0）, ∴p="8," ∴抛物线标准方程为y²=-16x…………………8分
(3)，设Q（x，y），，．
∵y²=-16x, ∴．
∴的取值范围是(－∞，30]．…………………13分

解析