Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，3AD=DC=3，AB=2，E是DC上点，且满足DE=1，连接AE，将△DAE沿AE折起到△D₁AE的位置，使得∠D₁AB=60°，设AC与BE的交点为O．
（1）试用基向量

AB

，

AE

，

AD1

表示向量

OD1

；
（2）求异面直线OD₁与AE所成角的余弦值；
（3）判断平面D₁AE与平面ABCE是否垂直？并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据向量的减法可知

OD1

=

AD1

-

AO

，而O为BE的中点可知

AO

=

1

2

（

AB

+

AE

），即可用基向量

AB

，

AE

，

AD1

表示向量

OD1

；
（2）设异面直线OD₁与AE所成的角为θ，然后根据向量的夹角公式cosθ=|cos＜

OD1

，

AE

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 |•| AE |

|进行求解；
（3）取AE的中点M，欲证平面D₁AE⊥平面ABCE，根据面面垂直的判定定理可知在平面D₁AE内一直线与平面ABCE垂直，而根据向量的垂直关系可知D₁M⊥AE，D₁M⊥AB，AE∩AB=A，满足线面垂直的判定定理，则D₁M⊥平面ABCE，即可证得平面D₁AE⊥平面ABCE．

解答：解：（1）∵AB∥CE，AB=CE=2，
∴四边形ABCE是平行四边形，∴O为BE的中点．
∴

OD1

=

AD1

-

AO

=

AD1

-

1

2

（

AB

+

AE

）
=

AD1

-

1

2

AB

-

1

2

AE

．

（2）设异面直线OD₁与AE所成的角为θ，
则cosθ=|cos＜

OD1

，

AE

＞|=|

OD1 • AE

| OD1 |•| AE |

|，
∵

OD1

•

AE

=（

AD1

-

1

2

AB

-

1

2

AE

）•

AE

=

AD1

•

AE

-

1

2

AB

•

AE

-

1

2

|

AE

|²
=1×

2

×cos45°-

1

2

×2×

2

×cos45°-

1

2

×（

2

）²
=-1，
|

OD1

|=

( AD1 - 1 2 AB  - 1 2 AE )2

=

6

2

，
∴cosθ=|

OD1 • AE

| OD1 |•| AE |

|=|

-1

6 2 × 2

|=

3

3

．
故异面直线OD₁与AE所成角的余弦值为

3

3

．
（3）平面D₁AE⊥平面ABCE．证明如下：
取AE的中点M，则

D1M

=

AM

-

AD1

=

1

2

AE

-

AD1

，
∴

D1M

•

AE

=（

1

2

AE

-

AD1

）•

AE

=

1

2

|

AE

|²-

AD1

•

AE

=

1

2

×（

2

）²-1×

2

×cos45°=0．
∴

D1M

⊥

AE

．∴D₁M⊥AE．
∵

D1M

•

AB

=（

1

2

AE

-

AD1

）•

AB

=

1

2

AE

•

AB

-

AD1

•

AB

=

1

2

×

2

×2×cos45°-1×2×cos60°=0，
∴

D1M

⊥

AB

，∴D₁M⊥AB．
又AE∩AB=A，AE、AB?平面ABCE，
∴D₁M⊥平面ABCE．
∵D₁M?平面D₁AE，
∴平面D₁AE⊥平面ABCE．

点评：本小题主要考查平面与平面垂直的判定，以及异面直线及其所成的角和空间向量等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．