Question

已知数列{a_n}的各项为正数，其前n项和Sn满足Sn=(

an+1

2

)2，
（I）求a_n与a_n-1（n≥2）之间的关系式，并求{a_n}的通项公式；
（II）求证

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

Answer 1

分析：（I）由4Sn=(an+1)2，知4Sn-1=(an-1+1)2，所以{a_n}是公差d=2的等差数列，由此能求出a_n与a_n-1（n≥2）之间的关系式，并能求了{a_n}的通项公式．
（II）由Sn=n2，知

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

，由

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，n≥2，能够证明

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

解答：解：（I）∵4Sn=(an+1)2①，
而4Sn-1=(an-1+1)2②，
①-②得4a_n=an2+2an+1-an-12-2an-1-1，
∴

a

2 n

-

a

2 n-1

-2(an+an-1)=0⇒(an+an-1)(an-an-1-2)=0，
∵a_n＞0，
∴an-

a

n-1

=2(n≥2)，
∴{a_n}是公差d=2的等差数列，
∵4a1=(a1+1)2，
∴a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（II）∵Sn=n2，
∴

1

Sn

=

1

n2

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

，
∵

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，n≥2，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=2-

1

n

＜2．
故

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜2．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细挖掘题设中的隐含条件，注意放缩法和裂项求和法的合理运用．