Question

如图，多面体ABC－A₁B₁C₁中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面ABC，AA₁＝BB₁＝2CC₁＝4.

(1)若O是AB的中点，求证：OC₁⊥A₁B₁；
(2)在线段AB₁上是否存在一点D，使得CD∥平面A₁B₁C₁，若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）见解析（2）点D是AB₁的中点

(1)证明：取线段A₁B₁的中点E，连接OE，C₁E，CO，

已知等边三角形ABC的边长为4，AA₁＝BB₁＝2CC₁＝4，AA₁⊥平面ABC，AA₁∥BB₁∥CC₁，
∴四边形AA₁B₁B是正方形，OE⊥AB，CO⊥AB，
又∵CO∩OE＝O，
∴AB⊥平面EOCC₁，
又A₁B₁∥AB，OC₁?平面EOCC₁，故OC₁⊥A₁B₁，
(2)设OE∩AB₁＝D，则点D是AB₁的中点，
∴ED∥AA₁，ED＝AA₁，
又∵CC₁∥AA₁，CC₁＝AA₁，
∴四边形CC₁ED是平行四边形，∴CD∥C₁E.
∵CD?平面A₁B₁C₁，C₁E?平面A₁B₁C₁，∴CD∥平面A₁B₁C₁，
即存在点D使得CD∥平面A₁B₁C₁，点D是AB₁的中点．