题目内容

已知椭圆E： $数学公式$ 的左、右焦点分别为F₁、F₂，上、下顶点分别为B₁、B₂，四边形B₁F₁B₂F₂的一个内角等于 $数学公式$ ，椭圆过点P（1， $数学公式$ ）．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l的斜率等于椭圆E的离心率，且交椭圆于A、B两点，直线PA和PB分别交x轴于点M、N，求证：|PM|=|PN|．

解：（1）由b＞ $\text{[math]}$ ，
知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
设所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，
把点P（1， $\text{[math]}$ ）代入，得b²=3，a²=4，
∴椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2） $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ，
设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，
代入椭圆方程，整理得x²+mx+m²-3=0，
∴x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，
要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k₁与直线PB的斜率k₂互为相反数，
k₁+k₂= $\text{[math]}$
∵（2y₁-3）（x₂-1）+（2y₂-3）（x₁-1）
=（x₁+2m-3）（x₂-1）+（x₂+2m-3）（x₁-1）
=2x₁x₂+（2m-4）（x₁+x₂）+6-4m
=2（m²-3）+（2m-4）（-m）+6-4m=0
所以，k₁+k₂=0，
因此|PM|=|PN|．
分析：（1）由b＞ $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，设所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，把点P（1， $\text{[math]}$ ）代入，能求出椭圆方程．
（2） $\text{[math]}$ ，离心率 $\text{[math]}$ ，设直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，代入椭圆方程，得x²+mx+m²-3=0，所以x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3，要证|PM|=|PN|，只需证直线PA的斜率k₁与直线PB的斜率k₂互为相反数．
点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．