Question

（本题满分16分）
对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期.例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列.
（1）设数列满足（），（不同时为0），求证：数列是周期为的周期数列，并求数列的前2012项的和；
（2）设数列的前项和为，且.
①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；
（3）设数列满足（），，，数列的前项和为，试问是否存在实数，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由.

Answer 1

（1）证明：又，
所以是周期为6的周期数列，………………2分
.
所以.………4分
解：（2）当时，，又得.………6分
当时,
，
即或.…………6分
①由有，则为等差数列，即，
由于对任意的都有，所以不是周期数列.…………8分
②由有，数列为等比数列，即，
存在使得对任意都成立，
即当时是周期为2的周期数列.…………10分
（3）假设存在，满足题设.
于是又即，
所以是周期为6的周期数列，的前6项分别为，…12分
则（），……14分
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以，为使恒成立，只要，即可，
综上，假设存在，满足题设，，.……16分

略