Question

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（1-x）=f（1+x）恒成立，设向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：由f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立得其对称轴，结合二次项系数的符号可得其单调性
通过计算

a

•

b

，

c

•

d

，从而确定它们所在的单调区间，由此解得x的范围．

解答：解：设f（x）的二次项系数为m，m≠0，
设其图象上两点为（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因为

(1-x)+(1+x)

2

=1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵

a

•

b

=（sinx，2）•（2sinx，

1

2

）=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=（cos2x，1）•（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①当m＞0时，f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3

2

π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3

4

π．
②当m＜0时，同理可得0≤x＜

π

4

＜或

3

4

π＜x≤π．
综上：f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集是：
当m＞0时，为{x|

π

4

＜x＜

3

4

π}；
当m＜0时，为{x|0≤x＜

π

4

，或

3

4

π＜x≤π}．

点评：本题是个中档题，主要考查二次函数的性质，同时考查了向量的数量积运算和三角恒等变换，解三角不等式．注意分类讨论的思想的应用．