Question

已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(

3

 ， 0)，离心率为

3

2

（1）求椭圆C的方程
（2）若直线l：y=kx+

2

与椭圆C恒有两个不同交点A、B，且

OA

•

OB

＞2（其中O为原点），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b）由题意可知a=2，e=

3

2

，进而求得c，再根据b=

c2-a2

求得b．
（2）把直线和椭圆方程联立可得一元二次方程，根据△＞0求得k的范围及两交点横坐标的乘积，再根据

OA

•

OB

=x1x2+y1y2＞2；求得k的另一个范围，最后综合求得k的范围．

解答：解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b）
依题意可知a=2，e=

c

a

=

3

2

∴c=

3

∴b=

c2-a2

=1
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1
（2）联立方程

y=kx+ 2 x2 4 +y2=1

，(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0
由△＞0得k2＞

1

4

，x1+x2=-

8 2

1+4k2

，x1x2=

4

1+4k2

，
由

OA

•

OB

＞2得x₁x₂+y₁y₂＞2，得(1+k2)x1x1+

2

k(x1+x2)+2＞2
解得k2＜

1

3

，所以

1

4

＜k2＜

1

3

所以k∈(-

3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

3

3

)

点评：本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的综合问题．属基础题．