Question

已知平面直角坐标系下的一列点P_n（a_n，b_n）满足，且．
（Ⅰ） 求点P₂坐标，并写出过点P₁，P₂的直线L的方程；
（Ⅱ） 猜想点P_n（n≥2）与直线L的位置关系，并加以证明；
（Ⅲ） 若c₁=1，c_n+1=b_nc_n，S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由，知，，，由此能求出过点P₁，P₂直线L的方程．
（Ⅱ）由P₂坐标为（）得，所以点P₃∈L，猜想点P_n（n≥3，n∈N）在直线L上，再用数学归纳法证明．
（Ⅲ）由，a_k+b_k=1，知a_n≠0，a_n≠±1，所以，是等差数列，由此入手能够导出的值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，
∴，，
∴P₂坐标为（），（2分）
∴过点P₁，P₂直线L的方程为x+y=1，（4分）
（Ⅱ）由P₂坐标为（）得，
∴点P₃∈L，
猜想点P_n（n≥3，n∈N）在直线L上，以下用数学归纳法证明：
当n=3时，点P₃∈L，（5分）
假设当n=k（k≥2）时，命题成立，即点P_k∈L，
∴a_k+b_k=1，（6分）
则当n=k+1时，a_k+1+b_k+1=a_kb_k+1+b_k+1
=，（7分）
∴点P_n∈L（n≥3），（8分）
（Ⅲ）由，a_k+b_k=1，
∴a_n≠0，a_n≠±1，
∴，
∴，
∴是等差数列，
∴，（9分）
∴，
∵c_n+1=b_nc_n，
∴，
=，（10分）
∴（11分）
∴S_n=c₁a₂+c₂a₃+…+c_na_n+1
=+（）]
=，
∴=
==．（12分）
点评：本题考查数列和解析几何的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．