Question

已知函数f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，x≤0

，g（x）=clnx+b，且x=

2

是函数y=f（x）的极值点．
（Ⅰ）当b=-2时，求a的值，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当b∈R时，函数y=f（x）-m有两个零点，求实数m的取值范围．
（Ⅲ）是否存在这样的直线l，同时满足：
①l是函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线
②l与函数y=g（x） 的图象相切于点P（x₀，y₀），x₀∈[e^-1，e]，如果存在，求实数b的取值范围；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，利用x=

2

是函数y=f（x）的极值点对应f′(

2

)=0，求出a的值，进而求出函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）函数y=f（x）-m有两个零点，转化为函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点，利用导函数求出函数
y=f（x）的单调区间，画出草图，结合图象即可求出实数m的取值范围．
（Ⅲ）利用导函数分别求出两个函数的切线方程，利用方程相等，对应项系数相等即可求出关于实数b的等式，再借助于其导函数即可求出实数b的取值范围．（注意范围限制）．

解答：解：（Ⅰ）x＞0时，f（x）=（x²-2ax）e^x，∴f'（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x（1分）
由已知得，f′(

2

)=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，解得a=1．（2分）
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x．
当x∈(0，

2

)时，f'（x）＜0，当x∈(

2

，+∞)时，f'（x）＞0．又f（0）=0，（3分）
当b=1时，f（x）在（-∞，0），(

2

，+∞)上单调递增，在(0，

2

)上单调递减．（4分）
（Ⅱ）由（1）知，当x∈(0，

2

)时，f（x）单调递减，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，0)
当x∈(

2

，+∞)时，f（x）单调递增，f(x)∈((2-2

2

)e

2

，+∞)．（2分）
要使函数y=f（x）-m有两个零点，则函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个不同的交点．
①当b＞0时，m=0或m=(2-

2

)e

2

；（3分）
②当b=0时，m∈((2-2

2

)e

2

，0)；（4分）
③当b＜0时，m∈((2-2

2

)e

2

，+∞)（5分）
（Ⅲ）假设存在，x＞0时，f9x）=（x²-2x）e^x，∴f'（x）=（x²-2）e^x
∴f（2）=0，f'（2）=2e²
函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线l的方程为：y=2e²（x-2）（1分）
直线l与函数g（x）的图象相切于点P（m，n）m∈[e^-1，e]，
∴n=clnm+b，g'（x）=

c

x

，所以切线l的斜率为g'（m）=

c

m

所以切线l的方程为y-n=

c

m

（x-m）
即l的方程为：y=

c

m

x-c+b+clnm（2分）
得

c m =2e2 -c+b+clnm=-4e2

⇒

c=2e2m b=c-clnm-4e2

得b=2e²（m-mlnm-2）其中m∈[e^-1，e]（3分）
记h（m）=2e²（m-mlnm-2）（其中m∈[e^-1，e]
∴h'（m）=2e²（1-（lnm+1））=-2e²lnm
令h'（m）=0⇒m=1（4分）

m	（e-1，1）	1	（1，e）
h'（m）	+	0	-
h（m）		极大值-2e2

又h（e）=-4e²，h（e^-1）=4e-4e²＞-4e²．
∵m∈[e^-1，e]，∴h（m）∈[-4e²，-2e²]

所以实数b的取值范围的集合：{b|-4e²≤b≤-2e²}（5分）

点评：本题第一问主要研究利用导数研究函数的单调性．利用导数研究函数的单调性时，一般结论是：导数大于0对应区间为原函数的递增区间；导数小于0对应区间为原函数的递减区间．