Question

已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：x²+y²-6x+12y+20=0．
（1）m∈R时，证明l与C总相交；　
（2）m取何值时，l被C截得弦长最短，求此弦长．

Answer 1

分析：（1）将直线l变形后，得出直线l恒过A（4，-3），然后将圆C化为标准方程，找出圆心C的坐标及半径r，利用两点间的距离公式求出点A到圆心C的距离d，根据d小于r得到A点在圆C内，进而确定出直线l与圆C总相交；
（2）l被C截得弦长最短时，A为弦的中点，直线CA与直线l垂直，由A和C的坐标求出直线AC的斜率，利用两直线垂直时斜率满足的关系求出直线l的斜率，根据直线l的方程即可求出m的值，再由弦心距d=|AC|及半径r，利用垂径定理及勾股定理即可求出直线l被圆C截得的最短弦长．

解答：解：（1）将直线l变形得：2m（x-4）+（y+3）=0，
可得出直线l恒过A（4，-3），
将圆C化为标准方程得：（x-3）²+（y+6）²=25，
∴圆心C为（3，-6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d=

(4-3)2+(-3+6)2

=

10

＜5=r，
∴点A在圆内，
则l与C总相交；
（2）∵直径AC所在直线方程的斜率为

-3+6

4-3

=3，
∴此时l的斜率为-

1

3

，
又2mx-y-8m-3=0变形得：y=2mx-8m-3，即斜率为2m，
∴2m=-

1

3

，即m=-

1

6

，
此时圆心距d=|AC|=

10

，又半径r=5，
则l被C截得的弦长为2

r2-d2

=2

15

．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：两点间的距离公式，垂径定理，勾股定理，两直线垂直时斜率满足的关系，恒过定点的直线方程，圆的标准方程，以及点与圆位置关系，当直线与圆相交时，常常根据垂径定理由垂直得中点，进而利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．