Question

已知函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[﹣1，1]上的减函数，且g（x）≤t²+λt+1在
x∈[﹣1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程的根的个数．

Answer 1

解：（1）因为函数f（x）=ln（e^x+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（﹣0）=﹣f（0）即f（0）=0，
则ln（e⁰+k）=0解得k=0，
显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，
因为g（x） 在[﹣1，1]上单调递减，
∴g'（x）=λ+cosx≤0  在[﹣1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）_max=g（﹣1）=﹣1﹣sin1，
只需-λ-sin1≤t²+λt+1（λ≤﹣1），
∴（t+1）λ+t²+sin1+1≥0（λ≤﹣1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）+t²+sin1+1（λ≤﹣1）
则解得t≤﹣1
（3）由（1）得f（x）=x
∴方程转化为=x²-2ex+m，
令F（x）=（x＞0），G（x）=x²-2ex+m  （x＞0），
∵F'（x）=，令F'（x）=0，即=0，得x=e
当x∈（0，e）时，F'（x）＞0，∴F（x）在（0，e）上为增函数；
当x∈（e，+∞）时，F'（x）＜0，F（x）在（e，+∞）上为减函数；
当x=e时，F（x）_max=F（e）=
而G（x）=（x﹣e）²+m﹣e²   （x＞0）
∴G（x）在（0，e）上为减函数，在（e，+∞）上为增函数；
当x=e时，G（x）_min=m﹣e²
∴当m﹣，即m＞时，方程无解；
当m﹣，即m=时，方程有一个根；
当m﹣，即m＜时，方程有两个根；