题目内容

已知有穷数列{an}共有2k项(整数k≥2),首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且an+1=(a-1)Sn+2(n=1,2,…,2k-1)，其中常数a＞1.

(1)求证：数列{an}是等比数列；

(2)若a=，数列{bn}满足bn=log2(a1a2…an)(n=1,2,…,2k)，求数列{bn}的通项公式；

(3)若(2)中的数列{bn}满足不等式.

|b1-|+|b2-|+…+|b2k-1-|+|b2k-|≤4，求k的值.

解：(1)an+1=(a-1)Sn+2,                               ①

当n≥2时,an=(a-1)Sn-1+2,                             ②

    两式相减得

an+1-an=(a-1)(Sn-Sn-1)=(a-1)an，∴an+1=aan.

∴=a为常数.

∴数列{an}是以a1=2为首项，以a为公比的等比数列.

(2)由(1)知an=2·an-1，

∴bn=log2(2·2a·2a2·…·2an-1)

=log2(2n·a1+2+…+(n-1))

=(n+)=1+··log2a

=1+·=1+.

(3)|bn-|=|-|=||，

∴|b1-|+|b2-|+…+|b2k-1-|+|b2k-|

=||+||+…+||+||

=2［++…++］

==.

    令≤4，即k2-8k+4≤0,

∴4-2≤k≤4+2.

    又∵k≥2，k∈Z，

∴k的值为2,3,4,5,6,7.

练习册系列答案
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10、已知有穷数列{an}（n=1，2，3，…，6）满足an∈{1，2，3，…，10}，且当i≠j（i，j=1，2，3，…，6）时，ai≠aj．若a1＞a2＞a3，a4＜a5＜a6，则符合条件的数列{an}的个数是（　　）
已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1=2．设该数列的前n项和为Sn，且an+1=（a-1）Sn+2（n=1，2，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求证：数列{an}是等比数列；
（2）若a=2
2
2k-1
，数列{bn}满足bn=
1
n
log2(a1a2…an)（n=1，2，…，2k），求数列{bn}的通项公式；
（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1-
3
2
|+|b2-
3
2
|+…+|b2k-1-
3
2
|+|b2k-
3
2
|≤4，求k的值．
已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=2
2
n-1
，数列{bn}满足bn=
1
n
log2(a1a2…an)，(n=1，2，3，…，2k)，求证：1≤bn≤2．
已知有穷数列{an}只有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=
an+1-2
a-1
(n=1，2，3，…，2k-1)，其中常数a＞1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=2
2
2k-1
，数列{bn}满足bn=log2an，（n=1，2，3，…，2k），Tn=
1
n
(b1+b2+b3+…+bn)，求证：1≤Tn≤2．
已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1=2，设该数列的前n项和为Sn，且Sn=
an+1-2
a-1
（n=1，2，3，…，2k-1），其中常数a＞1．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若a=2
2
2k-1
，数列{bn}满足bn=
1
n
log2(a1a2…an)，（n=1，2，3，…，2k），求证：1≤bn≤2；
（3）若（2）中数列{bn}满足不等式：|b1-
3
2
|+|b2-
3
2
|+…+|b2k-1-
3
2
|+|b2k-
3
2
|≤4，求k的最大值．

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