Question

【题目】已知，设函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）是否存在整数，对于任意，关于的方程在区间上有唯一实数解？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）当时，单调递减区间是，当时，单调递减区间是和，单调递增区间是

（2）存在，

【解析】

（1）根据题意单调，求导，令，分，两者情况讨论求解.

（2）先求时，的根，得到区间，当时，求导 ，讨论，时，，当且，利用等比数列求和公式得到，分析得，得到在R上是减函数，再论证，，利用零点存在定理得到结论.

（1）因为，

所以，，

令，

，

当时，，，所以在R上单调递减，

当时，，方程有两个不等根，

当时，，当时，，当时，，

所以在递减，在上递增.

综上：当时，的减区间是，

当时， 的减区间是，，增区间是.

（2）存在，对于任意，关于的方程在区间上有唯一实数解，理由如下：

当时，，令，解得，

所以关于的方程有唯一实数解.

当时，，，

若，则，

若，，

若且，，当时，，所以

当时，，所以，

故在R上是减函数.

又，

，

，

，

所以方程在区间上有唯一实数解.

综上：对于任意，关于的方程在区间上有唯一实数解，所以.