Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=b-cosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设

m

=（sinA，cos2A），

n

=（4k，1）（k＞1），且

m

•

n

的最大值是5，求k的值．

Answer 1

分析：（I）由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化简可得2sinAcosB=sinA，cosB=

1

2

，从而B=

π

3

．
（II）化简

m

•

n

，设sinA=t，则t∈（0，1]，则

m

•

n

=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]．
根据二次函数的性质可得t=1时，

m

•

n

取最大值，求得k值．

解答：解：（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）．∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0．∴cosB=

1

2

，∵0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（II）

m

•

n

=4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，A∈（0，

2π

3

 ），
设sinA=t，则t∈（0，1]． 则

m

•

n

=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]．
∵k＞1，∴t=1时，

m

•

n

取最大值．   依题意得，-2+4k+1=5，∴k=

3

2

．

点评：本题考查正弦定理的应用，两个向量的数量积公式，二次函数的性质，判断 sinA=t∈（0，1]是解题的难点．