Question

已知函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx，
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值、最小值及取最值时x的取值；
（3）写出f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数，二倍角公式化简函数的表达式，然后利用两角和公式化简为一个角的一个三角函数的形式，
（1）求出函数的周期．（2）直接求出函数的最大值、最小值及取最值时x的取值；（3）直接写出f（x）的单调递增区间．

解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx）-

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x
=2sin（2x+

π

3

）；
所以函数的周期是：π．
（2）当x=kπ+

π

12

（k∈Z）时，f（x）有最大值：2；当x=kπ-

π

12

时，有最小值：-2；
（3）函数f（x）的单调增区间是：[kπ-

π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期的求法，基本函数的基本性质的应用，考查计算能力．