Question

设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的命题的序号是______．
（1）f（x）f（-x）是奇函数（2）f（x）|f（-x）|是奇函数
（3） f（x）-f（-x）是偶函数（4） f（x）+f（-x）是偶函数．

Answer 1

解：（1）设F（x）=f（x）f（-x），则F（-x）=f（-x）f（x）=F（x），且F（x）的定义域是R，是偶函数；故错．
（2）设F（x）=f（x）|f（-x）|，则F（-x）=f（-x）|f（x）|不一定等于-F（x），不一定是奇函数；故错
（3）设F（x）=f（x）-f（-x）则F（-x）=f（-x）-f（x）=-F（x），且F（x）的定义域是R，是奇函数；故错．
（4）设F（x）=f（x）+f（-x），则F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x），且F（x）的定义域是R，是偶函数；故正确．
故答案为：（4）．
分析：（1）设F（x）=f（x）f（-x）；（2）设F（x）=f（x）|f（-x）|，（3）F（x）=f（x）-f（-x）；（4）F（x）=f（x）+f（-x），，再利用奇偶函数的定义进行判断即可．
点评：本题考查函数的奇偶性的判断，属基本题型、基本概念的考查，难度不大．