Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2cos²ωx（x∈R，ω＞0），相邻两条对称轴之间的距离等于

π

2

．
（Ⅰ）求f(

π

4

)的值；
（Ⅱ）当x∈[0， 

π

2

]时，求函数f（x）的最大值和最小值及相应的x值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，根据周期公式求ω的值，从而可求f（x），进而可求f（

π

4

）
（Ⅱ）由（I）中函数的解析式，结合正弦函数的性质研究函数的最值及取得最值的条件

解答：解：（Ⅰ）f(x)=sin2ωx-cos2ωx-1=

2

sin(2ωx-

π

4

)-1．
因为

T

2

=

π

2

，所以T=π，ω=1．（3分）
所以f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1．
所以f(

π

4

)=0（7分）
（Ⅱ）f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)-1
当x∈[0， 

π

2

]时，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

3π

4

，（9分）
所以当2x-

π

4

=

π

2

，即x=

3π

8

时，f(x)max=

2

-1，（11分）
当2x-

π

4

=-

π

4

，即x=0时，f（x）_min=-2．（12分）

点评：本题主要考查了二倍角公式、辅助角公式把不同名的三角函数含为一个角的三角函数，进而研究三角函数的性质：周期性及周期公式，函数的最值的求解．