Question

已知函数F（x）=

1

a

-

1

x

，x＞0，a＞0．
（1）讨论f（x）在定义域上的单调性，并给予证明；
（2）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），求a的取值范围和相应的m，n的值．

Answer 1

分析：（1）直接利用函数单调性的定义判断函数在（0，+∞）上的单调性；
（2）由（1）得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以，函数在[m，n]上也为增函数，再由f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]，（0＜m＜n），说明f（m）=m，f（n）=n，从而说明m和n是方程ax²-x+a=0的两实根，由该方程的判别式大于0，结合已知a＞0可求a的取值范围，利用求根公式得到m和n的值．

解答：解：（1）f（x）在定义域上单调递增．证明如下
任取x₁＞x₂＞0，
则f(x1)-f(x2)=(

1

a

-

1

x1

)-(

1

a

-

1

x2

)
=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

．
∵x₁＞x₂＞0，∴x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0．
∴

x1-x2

x1x2

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在定义域上单调递增．
（2）由（1）知f（x）在[m，n]上单调递增，
则f（x）在[m，n]上的值域是[f（m），f（n）]．
即f(m)=

1

a

-

1

m

=m，f(n)=

1

a

-

1

n

=n．
∴m，n为方程ax²-x+a=0的两实根，
∴△=1-4a²＞0，
∴-

1

2

＜a＜

1

2

，又a＞0，可得a∈(0，

1

2

)．
则m=

1- 1-4a2

2a

，n=

1+ 1-4a2

2a

．

点评：本题考查了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，考查了单调函数的值域问题，考查了方程思想，解答此题的突破口是能由f(m)=

1

a

-

1

m

=m，f(n)=

1

a

-

1

n

=n想到m，n是方程ax²-x+a=0的两实根，此题是中档题．