Question

（2013•楚雄州模拟）（不等式选讲）已知函数f（x）=log₂（|x+1|+|x-2|-m）．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题设知：|x+1|+|x-2|＞7，解此绝对值不等式求得函数f（x）的定义域．
（2）由题意可得，不等式即|x+1|+|x-2|≥m+4，由于x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥3，故m+4≤3，由此求得m的取值范围．

解答：解：（1）由题设知：|x+1|+|x-2|＞7，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

x≥2 x+1+x-2＞7

，或

1≤x＜2 x+1-x+2＞7

，或

x＜1 -x-1-x+2＞7

解得函数f（x）的定义域为（-∞，-3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x-2|≥m+4，
∵x∈R时，恒有|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，
不等式|x+1|+|x-2|≥m+4解集是R，
∴m+4≤3，m的取值范围是（-∞，-1]．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．