Question

已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒通过定点（a，b）．设椭圆E的方程为（a＞b＞0）．
（1）求椭圆E的方程．
（2）若动点T（t，0）在椭圆E长轴上移动，点T关于直线的对称点为S（m，n），求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据函数的解析式求出定点（a，b）的坐标，进而得到a和b的值，从而得到椭圆E的方程．
（2）利用点与其对称点的连线与对称轴垂直，以及点与其对称点的连线的中点在对称轴上，求出对称点S（m，n），
设ϕ（t）=，利用它的导数符号判断其单调性，由单调性求ϕ（t）的最值，进而得到的取值范围．
解答：解：（1）∵当x=2时，，
∴函数f（x）的图象通过定点．
∴
所求椭圆的方程为．
（2）∵点T与点S关于直线对称，
∴，
解方程组得．
设，
∵ϕ′（t）=-2t²-1＜0，
∴ϕ（t）在区间[-2，2]上是减函数．
∵ϕ（-2）=11，ϕ（2）=-9，
∴的取值范围是[-9，11]．
点评：本题考查椭圆的标准方程和椭圆的性质，求一个点关于直线的对称点的方法，以及利用导数判断函数的单调性，再由单调性求函数的值域的方法．