Question

已知函数f（x）=2sinxcos（

3

2

π+x）+

3

cosxsin（π+x）+sin（

π

2

+x）cosx
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值及其相应的x的集合．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数诱导公式，结合三角恒等变换公式化简，得f（x）=

3

2

-sin（2x+

π

6

），再根据三角函数的周期公式，即可求出函数f（x）的最小正周期T；
（2）由（1）的表达式，得当sin（2x+

π

6

）=-1时，函数f（x）有最大值．根据正弦函数的图象与性质，解方程2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，（k∈Z），即可得到函数f（x）的最大值和相应的x的集合．

解答：解：∵cos（

3

2

π+x）=sinx，sin（π+x）=-sinx，sin（

π

2

+x）=cosx
∴f（x）=2sin²x-

3

sinx•cosx+cos²x
=sin²x-

3

2

sin2x+1=

1

2

（1-cos2x）-

3

2

sin2x+1
=

3

2

-（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）=

3

2

-sin（2x+

π

6

）
（1）函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）根据f（x）=

3

2

-sin（2x+

π

6

），
可得当sin（2x+

π

6

）=-1时，函数f（x）有最大值为

5

2

令2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，（k∈Z），得x=-

π

3

+kπ，（k∈Z）
∴函数f（x）的最大值为

5

2

，相应的x的集合为{x|x=-

π

3

+kπ，（k∈Z）}．

点评：本题给出三角函数式的化简，求函数的周期与最值．着重考查了三角函数的周期公式、最值及其相应的x取值集合等知识，属于中档题．