Question

如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，BC=

2

，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求异面直线AD与BE所成角的大小．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=O，连接EO，
∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．
∴OE为△PAC的中位线．
∴PA∥OE，而OE?平面EDB，PA?平面EBD，
∴PA∥平面EDB．…（6分）
（Ⅱ）∵AD∥BC，∴∠CBE就是异面直线AD与BE所成的角或补角．…（8分）
∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴BC⊥PD．
又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥DC．又因为PD∩DC=D，
所以BC⊥平面PDC．
在Rt△BCE中BC=

2

，EC═

1

2

PC=

2

，∴∠CBE=

π

4

．
即异面直线AD 与BE所成角大小为

π

4

．                    …（12分）