Question

已知f（x）是定义在R上的函数，且f（x+1）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=3，则f（2）=

-2

；f（2005）=

3

．

Answer 1

分析：由f（x+1）=

1+f(x)

1-f(x)

，知f（2）=

1+f(1)

1-f(1)

= -

4

2

 =-2，由f（x+2）=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1-  1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，知f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x），由此能求出f（2005）．

解答：解：∵f（x+1）[1-f（x）]=1+f（x），f（1）=3，
∴f（x+1）=

1+f(x)

1-f(x)

，
∴f（2）=

1+f(1)

1-f(1)

= -

4

2

 =-2，
∵f（x+2）=

1+f(x+1)

1-f(x+1)

=

1+ 1+f(x) 1-f(x)

1-  1+f(x) 1-f(x)

=-

1

f(x)

，
∴f（x+4）=-

1

f(x+2)

=f（x），
∴T=4，
∴f（2005）=f（4×501+1）=f（1）=3．
故答案为：-2，3．

点评：本题考查函数的周期性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．