题目内容

求证：函数y=x3在R上为奇函数且为增函数.

解析：根据奇函数的定义以及判断函数单调性的方法去证明．

解：显然f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函数；

    令x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22),

    其中，显然x1-x2＜0，x12+x1x2+x22=(x1+x2)2+x22，由于(x1+x2)2≥0，x22≥0，且不能同时为0，否则x1=x2=0，故(x1+x2)2+x22＞0.从而f(x1)-f(x2)＜0.所以该函数为增函数.

练习册系列答案
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已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．
已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若y=k+
x
(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．
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（1）判断函数f（x）=1+x-x2（x∈（0，+∞））是否为闭函数？并说明理由；
（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．
已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数．请解答以下问题：
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（2）求证：函数y=-x3（x∈[-1，1]）为闭函数；
（3）若是闭函数，求实数k的取值范围．

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