Question

已知a＞0，函数f（x）=lnx-ax²，x＞0．（f（x）的图象连续不断）
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=

1

8

时，证明：存在x₀∈（2，+∞），使f(x0)=f(

3

2

)；
（Ⅲ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f（α）=f（β），证明

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

Answer 1

分析：（I）求导数fˊ（x）；在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．
（II）由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，在（2，+∞）内单调递减．令g(x)=f(x)-f(

3

2

)．利用函数f（x）在（0，2）内单调递增，得到f(2)＞f(

3

2

)，即g(2)＞0．最后取x′=

3

2

e＞2，则g(x′)=

41-9e2

32

＜0．从而得到结论；
（III）先由f（α）=f（β）及（I）的结论知α＜

2a

2a

＜β，从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．再依1≤α≤2≤β≤3建立关于a的不等关系即可证得结论．

解答：解：（I）f′(x)=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，x∈(0，+∞)，
令f′(x)=0，解得x=

2a

2a

．
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

 所以，f（x）的单调递增区间是(0，

2a

2a

)，f(x)的单调递减区间是(

2a

2a

，+∞)．
（II）证明：当a=

1

8

时，f(x)=lnx-

1

8

x2．
由（I）知f（x）在（0，2）内单调递增，
在（2，+∞）内单调递减．
令g(x)=f(x)-f(

3

2

)．
由于f（x）在（0，2）内单调递增，
故f(2)＞f(

3

2

)，即g(2)＞0．
取x′=

3

2

e＞2，则g(x′)=

41-9e2

32

＜0．
所以存在x₀∈（2，x'），使g（x₀）=0，
即存在x0∈(2，+∞)，使f(x0)=f(

3

2

)．
（说明：x'的取法不唯一，只要满足x'＞2，且g（x'）＜0即可）
（III）证明：由f（α）=f（β）及（I）的结论知α＜

2a

2a

＜β，
从而f（x）在[α，β]上的最小值为f（a）．
又由β-α≥1，α，β∈[1，3]，知1≤α≤2≤β≤3．
故

f(2)≥f(α)≥f(1) f(2)≥f(β)≥f(3).

即

ln2-4a≥-a ln2-4a≥ln3-9a.

从而

ln3-ln2

5

≤a≤

ln2

3

．

点评：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．