Question

下列函数中，在（0，

π

2

）上有零点的函数是（　　）

A．f（x）=sinx-x	B．f（x）=sinx- 2 π x
C．f（x）=sin2x-x	D．f（x）=sin2x- 2 π x

Answer 1

对于A：f'（x）=cosx-1＜0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；
对于B：令f′（x）=cosx-

2

π

=0，得x₁=arccos

2

π

，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＞0，当x1＜x＜

π

2

时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上单调递增，在（x1，

π

2

）上单调递减，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；
对于C：f′（x）=2sinxcosx-1=sin2x-1≤0，x∈（0，

π

2

）
∴f（x）在（0，

π

2

）上单调递减，且f（0）=0，故该函数在（0，

π

2

）上无零点，故错；
对于D：令f′（x）=2sinxcosx-

2

π

=sin2x-

2

π

=0，得x₁=arcsin

2

π

，或x₂=π-arcsin

2

π

，
当0＜x＜x₁时，f′（x）＜0，当x₁＜x＜x₂时，f′（x）＞0，当x2＜x＜

π

2

时，f′（x）＜0，
因此f（x）在（0，x₁）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增，在（x2，

π

2

）上单调递减，
而f（0）=0，f（

π

2

）=0，故该函数在（0，

π

2

）上有零点，故正确；
故选D．