Question

【题目】若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，

由题意可得f′（x）≥0恒成立，

即为1﹣cos2x+acosx≥0，

即有﹣cos2x+acosx≥0，

设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，

当t=0时，不等式显然成立；

当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，

由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，

可得3a≥﹣1，即a≥﹣；

当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，

由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，

可得3a≤1，即a≤．

综上可得a的范围是[﹣， ]．

另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，

由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，

解得a的范围是[﹣， ]．

故选：A．