Question

已知函数f(x)=

2x-1

x

，其定义域为{x|x≠0}，
（1）用单调性的定义证明函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；
（2）利用所得到（1）的结论，求函数f（x）在[1，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）用单调性的定义证明函数f（x）的单调性，步骤是取值，作差，判正负，下结论；
（2）根据单调性求出函数f（x）在闭区间上的最值．

解答：解：（1）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=

2x1-1

x1

-

2x2-1

x2

=

x1-x2

x1x2

；
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0；
又∵x₁＞0，x₂＞0，∴x₁x₂＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f(x)=

2x-1

x

在（0，+∞）上是增函数．
（2）∵f(x)=

2x-1

x

在（0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[1，2]上是增函数；
f（x）在[1，2]上的最大值是f（x）_max=f（2）=

2×2-1

2

=

3

2

，
最小值是f（x）_min=f（1）=

2×1-1

1

=1．

点评：本题考查了用定义判定函数的单调性以及根据单调性求函数在闭区间上的最值问题，是基础题．