Question

已知函数f(x)=xlnx.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)当0＜x＜c时，求函数g(x)=f(x)+f(c-x)的最小值；

(3)已知m、n∈R⁺，证明：f(m)+f(n)＞f(m+n)-(m+n).

Answer 1

答案：(1)解：∵f′(x)=lnx+1(x＞0),1分

令f′(x)≥0，即lnx≥-1=lne^-1.

∵e=2.718 28…＞1,

∴y=lnx在区间(0,+∞)上是单调递增函数.

∴x≥e^-1=,∴x∈［,+∞).∴f(x)的单调递增区间为［,+∞),f(x)的单调递减区间为(0,).

 (2)解：∵g′(x)=lnx+1-ln(c-x)-1=ln,

令h′(x)≥0，则有≥1≥0≤x＜c.

∴g(x)在［,c)上单调递增，在(0,)上单调递减.

∴g(x)_min=g()=ln+(c)ln(c)=cln.                                

(3)证明：由(2)g(x)=f(x)+f(c-x)≥cln,令x=m,c=m+n，则

f(m)+f(m+n-m)≥(m+n)ln,

即f(m)+f(n)≥f(m+n)-(m+n)ln2＞f(m+n)-(m+n).