Question

如图所示，图象为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R)的部分图象如图所示
（1）求f（x）的解析式．
（2）已知g（α）=

3

f（α-

π

4

）+f（α），且tanα=

3

，求g（α）的值．

Answer 1

分析：（1）通过函数的图象求出A，横坐标的差值求出函数的周期，得到ω，利用函数经过的特殊点求解φ，得到函数的解析式．
（2）通过g（α）=

3

f（α-

π

4

）+f（α），利用两角和与差的三角函数函数函数为α的三角函数，tanα=

3

，通过“1”的代换，求出g（x）的值．

解答：解：（1）由图象知，A=1，

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，
∴T=π
∴ω=

2π

T

=2，
又函数的图象经过（-

π

6

，0），
∴0=sin[2×(-

π

6

)+φ]，
∵|φ|＜

π

2

．
∴2•(-

π

6

)+φ=0，解得φ=

π

3

∴f(x)=sin(2x+

π

3

)…（6分）
（2）∵f(α)=sin(2α+

π

3

)
∴g(α)=

3

sin[2(α-

π

4

)+

π

3

]+sin(2α+

π

3

)
=

3

sin(2α-

π

6

)+sin(2α+

π

3

)
=

3

(sin2αcos

π

6

-cos2αsin

π

6

)+sin2αcos

π

3

+cos2αsin

π

3

=2sin2α…（10分）．
∵tanα=

3

∴sin2α=2sinαcosα=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

tan2α+1

=

2 3

4

=

3

2

，
∴g(α)=2sin2α=

3

…（12分）

点评：本题考查三角函数的解析式的求法，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．