Question

【题目】已知,函数.

（1）当时，画出函数的大致图像；

（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；

（3）试讨论关于x的方程解的个数.

Answer 1

【答案】详见解析

【解析】

（1）当时，将函数化为，由此画出函数的图像.（2）根据（1）的图像写出函数的单调减区间，利用单调性的定义，通过计算，证得函数单调性.（3），由于，故函数图像与（1）中的图像类似.将方程解的个数问题转化为与图像的交点个数来解.将分成五种情况，讨论两个函数交点的个数.

（1）如图所示

（2）单调递减区间：

证明：设任意的

因为，所以

于是，即

所以函数在上是单调递减函数

(3) 由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数

又，注意到，

当且仅当时，上式等号成立，借助图像知

所以，当时，函数的图像与直线有1个交点；

当，时，函数的图像与直线有2个交点；

当，时，函数的图像与直线有3个交点；