Question

【题目】设数列的前项和为，且，数列为等差数列，且，.

（1）求数列和的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）若对任意正整数，不等式均成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）.；（2）；（3）最大值为4.

【解析】

根据即可求出数列的通项公式,再结合，，即可求出等差数列的通项公式;

由知,,利用错位相减法求其前n项和即可;

由知,,利用分离参数法可得, 等价于,令,利用数列单调性的定义求数列的最小值即可.

（1）当时，；

当时，，此式当时也成立.

∴.

∴，.

∵，，

∴，，公差，

由等差数列通项公式得,;

（2）由（1）知, ，，

所以，

所以数列的前n项和为，

，

两式相减可得，

；

（3）因为，

所以等价于，

令，

则

当时，.

而，数列从第2项起是递增数列，

故，

所以即实数的最大值为4.