Question

已知奇函数f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意义，且在（0，+∞）上是增函数，f（1）=0，又有函数g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，θ∈[0，

π

2

]，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f[g（θ）]＜0}．
（1）求f（x）＜0的解集；
（2）求M∩N．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数，在（-∞，0）上是增函数，可判断f（x）在（-∞，0）上单调性，由f（1）=0可得f（-1）=0，据此可解不等式；
（2）由（1）可去掉符号集合N中的符号“f”，从而可化简M∩N，分离出m后转化求函数的最值，用基本不等式可求得最值；

解答：解：（1）f（x）为奇函数，f（1）=0⇒f（-1）=-f（1）=0，
f（x）在（-∞，0）上是增函数⇒f（x）在（-∞，0）上也是增函数，
⇒f（x）＜0的解集为{x|x＜-1或0＜x＜1}；
（2）N={m|f[g（θ）]＜0}={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
M={m|g（θ）＜0}⇒M∩N={m|g（θ）＜-1}，

g(θ)＜-1⇒sin2θ+mcosθ-2m＜-1⇒(2-cosθ)m＞2-cos2θ ⇒m＞ 2-cos2θ 2-cosθ =cosθ-2+ 2 cosθ-2 +4

，
由θ∈[0，

π

2

]⇒cosθ-2∈[-2，-1]⇒

2-cos2θ

2-cosθ

≤4-2

2

（当cosθ=2-

2

时，等号成立）⇒m＞4-2

2

⇒M∩N={m|m＞4-2

2

}．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查学生运用知识解决问题的能力．